求解方程 $y''(x)=m^2 y(x)$ 和 $y''(x)=-m^2 y(x)$.
求解方程 $y''(x)=m^2 y(x)$ 和 $y''(x)=-m^2 y(x)$. 这里 $m > 0$.
[Hint]
$y''(x)-m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2-m^2=0$. 得 $\lambda=\pm m$. 于是, 通解为
\[
y(x)=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}
\]
$y''(x)+m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2+m^2=0$. 得 $\lambda=\pm mi$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 于是, 通解为
\[
\begin{split}
y(x)&=C_1 e^{mix}+C_2 e^{-mix}\\
&=C_1\bigl(\cos(mx)+i\sin(mx)\bigr)+C_2\bigl(\cos(mx)-i\sin(mx)\bigr)\\
&=(C_1+C_2)\cos(mx)+i(C_1-C_2)\sin(mx)
\end{split}
\]
因此通解也可表示为
\[
y(x)=C_1 \cos(mx)+C_2\cdot i\sin(mx)
\]
除了特征方程的方法, 对于 $y''=m^2 y$ 或类似的形如 $y''=f(y)$ 的常微分方程, 可以令 $y'=p(y)$. 从而 $y''=p'(y)\cdot y'$. 于是原方程变为
\[
\frac{dp(y)}{dy}\cdot p(y)=m^2 y\quad\Rightarrow\quad p(y)dp(y)=m^2 y dy
\]
Remark:
思考: 上面为什么可以令 $y'(x)=p(y)$ ? 也就是 $y'(x)$ 为什么可以是 $y$ 的函数?
当高阶常微分方程中不含有 $y$, 则可令 $p(x)=y'(x)$, 从而降阶.